항등식의 정의와 성질#

항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이다.

예를 들어 어떤 등식이 모든 실수 에 대하여 항상 성립하면, 그 등식은 에 대한 항등식이다.

수치대입법과 계수비교법#

  • 수치대입법: 항등식에 특정한 값을 대입하여 미지수를 구하는 방법
  • 계수비교법: 항등식의 양변을 정리한 뒤, 같은 차수의 계수를 비교하여 미지수를 구하는 방법

예제 1#

등식

이 모든 실수 에 대하여 성립할 때, 세 상수 의 곱 의 값을 구하시오.

풀이 1: 수치대입법

먼저 을 대입한다.

따라서

이다.

다음으로 를 대입한다.

을 대입하면

따라서

이다.

마지막으로 을 대입한다.

, 을 대입하면

따라서

이다.

그러므로

이다.

답

풀이 2: 계수비교법

우변을 전개한다.

따라서

이다.

항등식이므로 양변의 계수를 비교하면

이므로

이다.

상수항을 비교하면

이다.

의 계수를 비교하면

이다.

을 대입하면

이다.

따라서

이다.

답

예제 2#

다항식 가 모든 실수 에 대하여 등식

를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. 단, 는 상수이다.

풀이

먼저 를 대입한다.

좌변은

이다.

따라서 우변도 0이어야 하므로

이다.

따라서

이다.

이를 우변에 대입하면

이다.

이 식을 정리하면

이다.

그런데 좌변은

이므로, 우변도 를 인수로 가져야 한다.

따라서

이어야 하므로

이다.

이때

이므로

이다.

따라서

이다.

답

나머지정리#

다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 나머지는 이다.

즉,

라고 하면, 를 대입했을 때

이다.

또한 다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 나머지는

이다.

왜냐하면

을 만족시키는 값이

이기 때문이다.

즉,

라고 하면,

이다.

예제 1#

다항식 를 로 나누었을 때의 나머지가 이고, 로 나누었을 때의 나머지가 5이다.

를

로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

풀이

를 로 나누었을 때의 나머지가 이므로

이다.

를 로 나누었을 때의 나머지가 5이므로

이다.

이차식을 인수분해하면

이다.

를 로 나누었을 때의 나머지를

라고 하자.

그러면

이고,

이다.

을 대입하면

이다.

를 대입하면

이다.

따라서

이다.

두 식을 연립하면

이다.

따라서 나머지는

이다.

답

예제 2#

다항식 를 로 나누었을 때의 나머지가 일 때, 다항식

을 로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

풀이

를 로 나누었을 때의 나머지가 이므로

이다.

구하려는 나머지는

에 을 대입한 값이다.

따라서 나머지는

이다.

답

인수정리#

다항식 가 로 나누어떨어지면 나머지가 0이다.

즉,

이다.

이때

로 나타낼 수 있으므로, 는 의 인수이다.

또한 방정식

에서

이므로, 는 방정식 의 근이다.

예제 1#

다항식

가

로 나누어떨어지도록 상수 의 값을 정할 때, 의 값을 구하시오.

풀이

이다.

가 로 나누어떨어지려면 와 를 모두 인수로 가져야 한다.

따라서

이다.

먼저

이므로

이다.

또한

이므로

이다.

따라서

이다.

두 식을 연립하면

이다.

따라서

이다.

답

예제 2#

다항식

에 대하여 는 로 나누어떨어지고, 는 로 나누어떨어질 때, 의 값을 구하시오. 단, 는 상수이다.

풀이

가 로 나누어떨어지므로, 을 대입하면 0이 된다.

이다.

또한 가 로 나누어떨어지므로, 을 대입하면 0이 된다.

이다.

먼저

이므로

이다.

또한

이므로

이다.

따라서

이다.

두 식을 연립하면

이다.

따라서

이다.

답