조립제법#

조립제법은 다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 계수만 이용하여 간단하게 구하는 방법이다.

조립제법을 적용할 때는 다음 사항에 주의한다.

  1. 다항식을 내림차순으로 정리한다.
  2. 빠진 차수의 항은 계수를 0으로 놓는다.
  3. 나누는 식 가 0이 되는 값 를 이용한다.
  4. 조립제법으로 얻은 마지막 수는 나머지이고, 나머지 앞의 수들은 몫의 계수이다.

예제 1#

다음 다항식의 나눗셈에서 몫과 나머지를 각각 구하시오.

풀이

이 0이 되는 값은

이다.

조립제법을 적용하면 다음과 같다.

따라서 몫의 계수는 이고, 나머지는 이다.

답

예제 2#

다항식

을 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하시오.

풀이

먼저 빠진 차수의 항까지 포함하여 정리한다.

가 0이 되는 값은

이다.

조립제법을 적용하면 다음과 같다.

따라서 몫의 계수는 이고, 나머지는 이다.

답

예제 3#

다항식

을 일차식 으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하시오.

풀이

이 0이 되는 값은

이다.

조립제법을 적용하면 다음과 같다.

조립제법으로 얻은 몫은

이고, 나머지는 이다.

다만 이 몫은 다항식을 로 나누었을 때의 몫이다.

따라서

이다.

이때

이므로

이다.

따라서 으로 나누었을 때의 몫은 이고, 나머지는 이다.

답

예제 4#

다항식

을 로 나누었을 때의 몫을 라 하자.

를 다시 로 나누었을 때의 나머지가 일 때, 상수 의 값을 구하시오.

풀이

먼저 주어진 다항식을 빠진 차수의 항까지 포함하여 정리한다.

이 0이 되는 값은

이다.

조립제법을 적용하면 다음과 같다.

따라서 몫은

이다.

를 다시 로 나누었을 때의 나머지가 이므로, 나머지정리에 의해

이다.

따라서

이므로

이다.

따라서

이다.

답

인수분해#

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것이다.

인수분해 공식#

① 세 항의 합의 제곱

② 두 항의 합의 세제곱

③ 두 항의 차의 세제곱

④ 세제곱의 합

⑤ 세제곱의 차

예제 1#

다음 식을 인수분해하시오.

(1)

풀이

두 항의 차의 세제곱 공식을 이용한다.

따라서

답

(2)

풀이

먼저 합차공식을 이용한다.

세제곱의 합과 차에 대한 인수분해 공식을 이용하면

이다.

따라서

이다.

답

공통부분이 있는 식의 인수분해#

공통부분이 있는 식은 공통부분을 하나의 문자로 치환하여 인수분해한 후, 치환한 값을 다시 대입한다.

예제 1#

다음 식을 인수분해하시오.

풀이

공통부분인 을

으로 치환한다.

그러면 주어진 식은

이다.

인수분해하면

이다.

다시 을 대입하면

이다.

답

이차식 형태의 인수분해#

차수가 높은 다항식이라도 특정 부분을 하나의 문자로 치환하여 이차식 형태로 나타낼 수 있다면, 이차식의 인수분해 방법을 이용할 수 있다.

  1. 공통부분을 로 치환하여 형태로 정리한다.
  2. 이차식을 인수분해한다.
  3. 직접 인수분해하기 어려우면 완전제곱식과 합차공식을 이용한다.
  4. 치환한 값을 다시 대입하여 인수분해한다.

예제 1#

다음 식을 인수분해하시오.

풀이

으로 치환하면

이다.

인수분해하면

이다.

다시 을 대입하면

이다.

합차공식을 이용하면

이다.

답

예제 2#

다음 식을 인수분해하시오.

풀이

으로 치환하면

이다.

완전제곱식을 만들기 위해 에 를 더하고, 식의 값이 변하지 않도록 다시 를 뺀다.

합차공식을 이용하면

이다.

다시 을 대입하면

이다.

답

예제 3#

다음 식을 인수분해하시오.

풀이

공통부분인 를

로 치환한다.

그러면 주어진 식은

이다.

전개한 후 인수분해하면

이다.

다시 를 대입하면

이다.

각 이차식을 인수분해하면

이다.

따라서

이다.

답

예제 4#

다음 식을 인수분해하시오.

풀이

으로 치환하면

이다.

인수분해하면

이다.

다시 을 대입하면

이다.

합차공식을 이용하면

이다.

답

여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해#

여러 개의 문자를 포함하는 다항식은 하나의 문자를 기준으로 정리하면 인수분해가 쉬워질 수 있다.

  1. 차수가 가장 낮은 문자를 기준으로 정한다.
  2. 정한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
  3. 각 계수를 인수분해하여 공통인수를 찾는다.
  4. 공통인수를 묶고 남은 식을 인수분해한다.

예제 1#

다음 식을 인수분해하시오.

풀이

의 차수가 가장 낮으므로 를 기준으로 내림차순으로 정리한다.

답

예제 2#

다음 식을 인수분해하시오.

풀이

모든 문자의 차수가 같으므로 를 기준으로 내림차순으로 정리한다.

이때

이고,

이므로

이다.

중괄호 안의 식을 인수분해하면

이다.

따라서

이다.

답

인수정리를 이용한 인수분해#

인수정리를 이용하면 삼차 이상의 다항식도 일차식과 낮은 차수의 다항식의 곱으로 나타내어 인수분해할 수 있다.

  1. 을 만족하는 값 를 찾는다.
  2. 인수정리에 의해 가 의 인수임을 확인한다.
  3. 조립제법으로 형태로 나타낸다.
  4. 몫 를 다시 인수분해한다.

정수 계수 다항식의 유리수인 근을 찾을 때는 다음 후보를 확인할 수 있다.

상수항의양의약수최고차항의계수의양의약수

단, 분모가 0이 아니며 약분하여 나타낸 유리수에 대한 후보이다.

예제 1#

다음 다항식을 인수분해하시오.

풀이

상수항의 약수는

이고, 최고차항 계수 의 약수는

이다.

따라서 유리수인 근의 후보는

이다.

라고 하면

이다.

따라서 인수정리에 의해 은 의 인수이다.

조립제법을 적용하면 다음과 같다.

따라서

이다.

이차식을 다시 인수분해하면

이므로

이다.

답