함수의 수렴과 발산

함수의 수렴#

함수 에서 가 에 한없이 가까워질 때, 가 일정한 값 에 한없이 가까워지면 함수 는 에 수렴한다고 한다.

이를 기호로 나타내면 다음과 같다.

또는

로 나타낸다.

함수의 극한에서 중요한 점은 다음과 같다.

1. 는 에 한없이 가까워지지만, 반드시 일 필요는 없다.
2. 의 값과 극한값 은 다를 수 있다.
3. 함수가 수렴하지 않으면 발산한다고 한다.

예제 1#

함수

에 대하여 다음 극한값을 구하시오.

그래프 해석

이므로 그래프는 직선

과 같지만,

에서는 정의되지 않으므로

에 뚫린 점이 생긴다. 따라서 가 1에 가까워질 때 함수값은 2에 가까워진다.

풀이

따라서

이다.

예제 2#

함수

에 대하여 다음 극한값을 구하시오.

그래프 해석

상수함수의 그래프는 수평선

이다. 따라서 가 에 가까워져도 함수값은 항상 이므로 극한값도 이다.

풀이

상수함수는 의 값과 관계없이 항상 의 값을 가진다.

따라서

이다.

좌극한과 우극한#

가 보다 작은 쪽에서 에 한없이 가까워질 때의 극한을 좌극한이라고 한다.

가 보다 큰 쪽에서 에 한없이 가까워질 때의 극한을 우극한이라고 한다.

함수 가 에서 에 수렴하기 위한 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 그 값이 로 같은 것이다.

극한이 존재하지 않는 경우#

다음과 같은 경우에는 극한이 존재하지 않는다.

1. 좌극한과 우극한이 둘 다 존재하지 않는 경우
2. 좌극한과 우극한 중 하나만 존재하는 경우
3. 좌극한과 우극한이 둘 다 존재하지만, 그 값이 서로 다른 경우

발산#

함수가 일정한 값에 가까워지지 않고 한없이 커지거나 작아지는 경우, 함수가 발산한다고 한다.

는 한없이 커지는 상태를 나타낸다.

는 음수이면서 절댓값이 한없이 커지는 상태를 나타낸다.

예제 1#

함수

에 대하여 다음 극한을 구하시오.

그래프 해석

그래프에서 가 0의 왼쪽에서 가까워질 때도, 오른쪽에서 가까워질 때도 함수값은 모두 한없이 커진다. 즉,

이므로 함수값은 로 발산한다.

풀이

가 0에 한없이 가까워질수록 는 0에 한없이 가까워진다.

따라서

의 값은 한없이 커진다.

즉,

이다.

예제 2#

함수

에 대하여 다음 극한을 구하시오.

그래프 해석

그래프에서 가 양의 방향으로 한없이 커질수록 의 값은 0보다 큰 값으로 0에 가까워진다. 또한 가 음의 방향으로 한없이 작아질수록 의 값은 0보다 작은 값으로 0에 가까워진다.

즉,

이다.

풀이

가 한없이 커지면 의 값은 0에 한없이 가까워진다.

또한 가 음수이면서 절댓값이 한없이 커져도 의 값은 0에 한없이 가까워진다.