거듭제곱#

같은 수나 문자를 여러 번 곱한 것을 거듭제곱이라고 한다.

이때 를 밑, 을 지수라고 한다.

따라서

을 의 거듭제곱이라고 한다.

거듭제곱근#

를 만족시키는 는

이다.

이때 를 5의 제곱근이라고 한다.

일반적으로

를 만족시키는 를 의 제곱근이라고 한다.

로 나타낸다.

거듭제곱근은 다음 두 가지 관점에서 볼 수 있다.

  1. 차 방정식의 근: 복소수 범위에서 중복을 포함하여 개
  2. 의 제곱근: 를 만족시키는

연습 문제 1#

-1의 세제곱근을 구하시오.

풀이

이므로

이다.

이고,

이므로

이다.

따라서

이다.

먼저

에서

이다.

또한

에서 근의 공식을 이용하면

이므로

이다.

따라서 -1의 세제곱근은

이다.

답

연습 문제 2#

4의 네제곱근을 구하시오.

풀이

이므로

이다.

이고,

이므로

이다.

먼저

에서

이므로

이다.

또한

에서

이므로

이다.

따라서 4의 네제곱근은

이다.

답

실수 범위에서 거듭제곱근의 개수#

실수 범위에서 의 근의 개수는 이 짝수인지 홀수인지, 그리고 의 부호가 무엇인지에 따라 달라진다.

구분
이 짝수 , 2개 , 1개 없음, 0개
이 홀수 , 1개 , 1개 , 1개

의 실수인 근은 두 함수

의 교점과 같다.

이 짝수일 때#

이 짝수일 때 의 그래프는 축에 대하여 대칭이다.

  • 일 때: 와의 교점이 2개이다.
  • 일 때: 와의 교점이 1개이다.
  • 일 때: 와의 교점이 없다.

이 홀수일 때#

이 홀수일 때 의 그래프는 원점을 지나며 증가하는 형태이다.

  • 일 때: 와의 교점이 1개이다.
  • 일 때: 와의 교점이 1개이다.
  • 일 때: 와의 교점이 1개이다.

이때 이면 는 음수이다.

거듭제곱근의 성질#

실수 범위에서 거듭제곱근이 정의되는 경우, 다음 성질이 성립한다.

1. 거듭제곱근의 기본 성질#

2. 곱셈#

3. 나눗셈#

단,

이다.

4. 거듭제곱근의 거듭제곱근#

또한

이다.

따라서

이다.

5. 거듭제곱근의 거듭제곱#

6. 근호 안의 지수와 근호의 차수#