나머지정리와 인수정리#

예제 1#

임의의 실수 에 대하여 등식

이 성립할 때, 두 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.

풀이

우변의 의 계수는 2이다.

좌변에서 항을 만들 수 있는 항은

뿐이므로

이다.

또한 우변의 상수항은 이다.

좌변에서 상수항을 만들 수 있는 항은

뿐이므로

이다.

따라서

이다.

답

예제 2#

다항식 를 일차식 로 나누었을 때의 나머지가 2이고, 를 일차식 로 나누었을 때의 나머지가 이다.

를 이차식

로 나눈 나머지를 라 할 때, 의 값을 구하시오.

풀이

이 0이 되는 값은

이므로

이다.

가 0이 되는 값은

이므로

이다.

이차식을 인수분해하면

이다.

를 로 나누었을 때의 나머지를

라고 하자.

그러면

이다.

즉,

이다.

을 대입하면

이다.

를 대입하면

이다.

따라서

이다.

두 식을 빼면

이므로

이다.

이를

에 대입하면

이므로

이다.

따라서

이므로

이다.

답

예제 3#

에 대한 다항식

가 를 인수로 갖도록 하는 모든 실수 의 값의 합을 구하시오.

풀이

다항식

라고 하자.

가 0이 되는 값은

이다.

가 를 인수로 가지므로 인수정리에 의해

이다.

따라서

이다.

양변을 로 나누면

이다.

인수분해하면

이므로

이다.

따라서 모든 실수 의 값의 합은

이다.

답

예제 4#

다항식

를 로 나눈 몫이

이고, 나머지가 2일 때, 의 값을 구하시오. 단, 는 상수이다.

풀이

라고 하자.

이 0이 되는 값은

이다.

나머지가 2이므로 나머지정리에 의해

이다.

따라서

이므로

이다.

즉,

이다.

조립제법을 이용하면 다음과 같다.

따라서 몫은

이다.

문제에서 몫이

라고 했으므로

이다.

따라서

이다.

답

곱셈공식과 인수분해 복습#

곱셈공식#

①

②

③

④

⑤

인수분해#

①

②

③

④

⑤

예제 1#

다음 식을 인수분해하시오.

(1)

풀이

답

또는

(2)

풀이

답

(3)

풀이

이다.

공식

을 이용하면

이다.

답

(4)

풀이

답

또는

(5)

풀이

답

(6)

풀이

이다.

공식

을 이용하면

이다.

답

예제 2#

다음 식을 인수분해하시오.

(1)

풀이

로 치환하면

이다.

이는

이므로

이다.

다시

을 대입하면

이다.

답

(2)

풀이

로 치환하면 주어진 식은

이다.

공식

을 이용하면

이다.

다시

을 대입하면

이다.

답

예제 3#

다항식

를 인수분해하시오.

풀이

로 치환하면

이다.

인수분해하면

이다.

다시

을 대입하면

이다.

합차공식을 이용하면

이다.

답