이차방정식

이차방정식의 근의 공식과 판별식, 근과 계수의 관계, 새로운 이차방정식의 구성 및 두 허근의 관계를 예제와 함께 정리한 내용

근의 공식과 판별식 1#

실수 계수 이차방정식

의 근은 근의 공식을 이용하여 구할 수 있다.

근의 공식#

이때 근호 안의 식을 판별식이라고 하며, 로 나타낸다.

판별식의 부호에 따라 이차방정식의 근을 구분할 수 있다.

① 일 때

서로 다른 두 실근을 갖는다.

② 일 때

서로 같은 두 실근인 중근을 갖는다.

③ 일 때

서로 다른 두 허근을 갖는다.

예제 1#

이차방정식

이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 의 개수를 구하시오.

풀이

이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식이 0보다 커야 한다.

주어진 이차방정식에서

이므로

이다.

따라서

이므로

이다.

양변을 4로 나누면

이다.

조건을 만족하는 자연수 는

이므로 총 4개이다.

답

개

근의 공식과 판별식 2#

실수 계수 이차방정식에서 의 계수가 짝수이면 근의 공식을 간단하게 나타낼 수 있다.

이차방정식

에서 근의 공식을 적용하면

이다.

이를 정리하면

이다.

따라서 간단한 근의 공식은 다음과 같다.

이때 판별식은

이므로

이다.

따라서

를 이용하여 근을 판별할 수 있다.

예제 1#

이차방정식

이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 정수 의 최솟값을 구하시오.

풀이

서로 다른 두 허근을 가지려면 판별식이 0보다 작아야 한다.

주어진 이차방정식에서

이므로

이다.

따라서

이므로

이다.

양변을 2로 나누면

이다.

따라서 조건을 만족하는 정수 의 최솟값은 3이다.

답

예제 2#

에 대한 이차방정식

이 실수 의 값에 관계없이 중근을 가질 때, 상수 의 값을 구하시오.

풀이

이차방정식이 중근을 가지려면 판별식이 0이어야 한다.

주어진 이차방정식에서

계 수

이다.

따라서

이다.

모든 실수 에 대하여 중근을 가져야 하므로

이 모든 실수 에 대하여 성립해야 한다.

따라서 의 계수는 0이어야 하므로

이다.

그러므로

이다.

답

근과 계수의 관계 1#

이차방정식

의 두 근을 라고 하자.

이차방정식은 두 근을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이를 전개하면

이다.

이 식을

와 비교하면

이고,

이다.

따라서 근과 계수의 관계는 다음과 같다.

① 두 근의 합

② 두 근의 곱

예제 1#

이차방정식

의 두 근을 라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

풀이

근과 계수의 관계에 의해

이고,

이다.

(1)

곱셈공식의 변형을 이용한다.

따라서

이다.

답

(2)

곱셈공식의 변형을 이용한다.

따라서

이다.

답

근과 계수의 관계 2#

두 수 를 근으로 갖고 의 계수가 인 이차방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이를 전개하면

이다.

따라서 이차방정식은 다음과 같다.

두 근 의 합 두 근 의 곱

특히 의 계수가 1인 경우에는

이다.

예제 1#

이차방정식

의 두 근을 라고 할 때, 을 두 근으로 하고 의 계수가 1인 이차방정식을 구하시오.

풀이

근과 계수의 관계에 의해

이고,

이다.

새로운 두 근은

이다.

따라서 새로운 이차방정식은

으로 나타낼 수 있다.

먼저 두 근의 합을 구하면

이다.

다음으로 두 근의 곱을 구하면

이다.

새로운 이차방정식은

두 근 의 합 두 근 의 곱

이므로

이다.

답