이차함수와 이차방정식의 관계#
이차함수
의 그래프와
의 실근과 같다.
이차함수의 그래프가
따라서 이차방정식의 두 실근은
이다.
즉, 이차함수의 그래프와
이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#
이차함수
의 그래프와
판별식은 다음과 같다.
1. 교점이 2개인 경우#
이차함수의 그래프가
이때 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
두 실근을
2. 교점이 1개인 경우#
이차함수의 그래프가
이때 이차방정식은 중근을 갖는다.
중근을
3. 교점이 0개인 경우#
이차함수의 그래프가
이때 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다.
따라서 이차함수의 그래프와
| 판별식 | 교점의 개수 | 이차방정식의 근 |
|---|---|---|
| 2개 | 서로 다른 두 실근 | |
| 1개 | 중근 | |
| 0개 | 서로 다른 두 허근 |
예제 1#
이차함수
의 그래프가
풀이
이차함수의 그래프가
이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
따라서
이다.
이다.
주어진 식에서
이므로
이다.
따라서
이므로
이다.
양변을 9로 나누면
이다.
답
예제 2#
이차방정식
의 두 근이 모두 2보다 작도록 하는 실수
풀이
주어진 이차방정식에 대응하는 이차함수를
라고 하자.
이차항의 계수가 양수이므로 그래프는 아래로 볼록한 포물선이다.
두 근이 모두 2보다 작으려면 다음 조건을 만족해야 한다.
- 두 근이 실수이므로 판별식이 0 이상이다.
- 대칭축이
보다 왼쪽에 있다. 에서 함수값이 0보다 크다.
① 판별식 조건
두 실근을 가지거나 중근을 가지므로
이다.
간단한 판별식을 이용하면
이다.
따라서
이므로
이다.
② 대칭축 조건
이차함수의 대칭축은
이다.
따라서
이다.
대칭축이
③
두 근이 모두 2보다 작으므로,
따라서
이다.
그러므로
이므로
이다.
두 조건을 종합하면
이므로
이다.
답
이차함수와 직선의 위치 관계#
이차함수
와 직선
의 위치 관계는 두 식을 연립하여 구할 수 있다.
두 식의 교점에서는
이다.
한쪽으로 이항하면
이다.
이 이차방정식의 판별식은
이다.
판별식의 부호에 따라 이차함수와 직선의 위치 관계를 구분할 수 있다.
①
- 서로 다른 두 실근을 갖는다.
- 이차함수와 직선이 서로 다른 두 점에서 만난다.
②
- 중근을 갖는다.
- 이차함수와 직선이 한 점에서 접한다.
③
- 서로 다른 두 허근을 갖는다.
- 이차함수와 직선이 만나지 않는다.
예제 1#
이차함수
의 그래프와 직선
가 만나지 않도록 하는 정수
풀이
이차함수와 직선이 만나지 않으려면 교점이 없어야 한다.
따라서 두 식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식이 0보다 작아야 한다.
두 식을 연립하면
이다.
한쪽으로 이항하면
이다.
판별식을 구하면
이다.
따라서
이므로
이다.
양변을 8로 나누면
이다.
따라서 조건을 만족하는 정수
답
이차함수의 최대·최소#
이차함수
에서
이차함수의 꼭짓점은
이고, 대칭축은
이다.
꼭짓점은 완전제곱식
의 값이 0이 되는
1. 이차항의 계수가 양수일 때#
이면 그래프는 아래로 볼록한 포물선이다.
완전제곱식은 항상 0 이상이므로
이다.
따라서
이므로
이다.
최솟값은
최댓값은 존재하지 않는다.
2. 이차항의 계수가 음수일 때#
이면 그래프는 위로 볼록한 포물선이다.
완전제곱식은 항상 0 이상이고
이다.
따라서
이다.
최댓값은
최솟값은 존재하지 않는다.
예제 1#
이차함수
는
두 상수
풀이
주어진 이차함수는 이차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 포물선이다.
따라서 꼭짓점에서 최댓값을 갖는다.
이다.
이차함수를 완전제곱식으로 변형하면
이다.
따라서 꼭짓점의 좌표는
이다.
이를
이고,
이므로
이다.
따라서
이다.
답
제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소#
이차함수
에서
로 제한되어 있을 때, 최댓값과 최솟값은 그래프의 모양과 대칭축의 위치에 따라 달라진다.
최댓값과 최솟값을 구할 때는 다음 값을 비교한다.
- 구간의 왼쪽 끝에서의 함수값
- 구간의 오른쪽 끝에서의 함수값
- 대칭축이 구간에 포함될 때 꼭짓점에서의 함수값
1.
이면 아래로 볼록한 포물선이며, 구간 안에 꼭짓점이 존재한다.
최솟값은 꼭짓점에서 갖는다.
최댓값은 양 끝점의 함수값 중 큰 값이다.
특히
이면
이다.
2.
이면 주어진 구간에서 함수는 증가한다.
따라서
이고,
이다.
3.
이면 위로 볼록한 포물선이며, 구간 안에 꼭짓점이 존재한다.
최댓값은 꼭짓점에서 갖는다.
최솟값은 양 끝점의 함수값 중 작은 값이다.
특히
이면
이다.
4.
이면 주어진 구간에서 함수는 증가한다.
따라서
이고,
이다.
예제 1#
일 때, 이차함수
의 최솟값은
두 상수
풀이
주어진 이차함수를 완전제곱식으로 변형하면
이다.
따라서 꼭짓점은
이고, 대칭축은
이다.
이차항의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이다.
또한 대칭축
에 포함된다.
최솟값은 꼭짓점에서 갖는다.
문제에서 최솟값이
이다.
따라서
이다.
최댓값은 구간의 양 끝점에서의 함수값을 비교하여 구한다.
이고,
이다.
따라서
이므로 최댓값은
이다.
이다.
따라서
이다.
답
예제 2#
그림과 같이 270m의 끈을 모두 사용하여 담장 옆에 있는 밭을 하나의 정사각형 구역과 하나의 직사각형 구역으로 구분하여 서로 다른 두 작물을 심으려고 한다.
밭 전체의 넓이가 최대일 때, 정사각형 구역의 한 변의 길이를 구하시오. 단, 길이의 단위는 m이다.
풀이
정사각형의 한 변의 길이를
담장과 맞닿은 부분에는 끈을 사용하지 않는다.
따라서 끈이 필요한 부분은 세로 길이
끈의 전체 길이가 270m이므로
이다.
따라서
이다.
이를
이다.
정사각형과 직사각형의 가로 길이는 각각
따라서 밭 전체의 넓이를
이다.
여기에
를 대입하면
이다.
정사각형과 직사각형의 변의 길이는 모두 양수이므로
이다.
따라서
이므로
이다.
양변을 4로 나누면
이므로
이다.
따라서
이다.
이제 밭 전체의 넓이를 나타내는 이차함수는
이다.
이차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 포물선이다.
이차방정식
을 풀면
이므로
이다.
따라서 그래프는
이차함수의 대칭축은 두 근의 중간에 있으므로
이다.
또는 완전제곱식으로 나타내면
이다.
따라서 꼭짓점은
이다.
주어진 범위
에
따라서 밭 전체의 넓이가 최대가 되도록 하는 정사각형의 한 변의 길이는 45m이다.
답