허수단위 i#

제곱하여 이 되는 수를 나타내기 위해 도입한 수 를 허수단위라고 한다.

허수단위 는 다음과 같이 나타낸다.

또한

이므로, 방정식

의 해는 다음과 같다.

복소수#

복소수는 두 실수 에 대하여 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있는 수이다.

여기서

  • : 실수부분
  • : 허수부분의 계수
  • : 허수항

이다.

복소수 에 대하여 실수부분과 허수부분은 각각 다음과 같이 나타낸다.

복소수는 허수부분의 계수에 따라 구분할 수 있다.

  • 이면 실수이다.
  • 이면 실수가 아닌 복소수이며, 이를 허수라고 한다.
  • , 이면 순허수라고 한다.

두 복소수가 같은 조건#

두 복소수

에서 가 모두 실수일 때, 두 복소수가 서로 같으려면 실수부분과 허수부분이 각각 같아야 한다.

또한 복소수 가 0이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

예제 1#

등식

를 만족시키는 두 실수 의 합 의 값을 구하시오. 단, 이다.

풀이

양변의 실수부분을 비교하면

이다.

허수부분의 계수를 비교하면

이다.

따라서 연립방정식은

이다.

두 식을 더하면

이므로

이다.

이를 에 대입하면

이므로

이다.

따라서

이다.

답

켤레복소수#

복소수에서 허수부분의 부호를 바꾼 복소수를 켤레복소수라고 한다.

복소수

의 켤레복소수는 다음과 같다.

예시#

①

②

③

실수의 켤레복소수는 자기 자신과 같다.

복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈#

두 복소수

에서 가 모두 실수일 때, 덧셈과 뺄셈은 실수부분끼리, 허수부분끼리 계산한다.

1. 덧셈#

2. 뺄셈#

3. 곱셈#

분배법칙을 이용하여 전개한 뒤, 을 적용한다.

4. 켤레복소수의 덧셈#

켤레복소수끼리 더하면 허수부분이 소거되어 실수가 된다.

5. 켤레복소수의 곱셈#

따라서 복소수와 그 켤레복소수의 곱은 항상 0 이상의 실수이다.

예제 1#

두 복소수

일 때, 다음 식의 값을 구하시오. 단, 이다.

풀이

공통부분을 묶어 정리하면

이다.

켤레복소수의 성질에 의해

이므로

이다.

이때

이고,

이다.

따라서

이다.

답

복소수의 나눗셈#

복소수의 나눗셈은 분모와 분자에 분모의 켤레복소수를 곱하여 분모를 실수로 만든 뒤 계산한다.

이를 분모의 실수화라고 한다.

분모가 0이 아닌 복소수의 나눗셈은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

분모를 계산하면

이다.

따라서

이다.

단,

이다.

예제 1#

다음 복소수의 나눗셈을 계산하시오.

풀이

분모의 켤레복소수는

이다.

따라서 분모와 분자에 를 곱하면

이다.

실수부분과 허수부분으로 나누어 나타내면

이다.

답

허수단위 i의 순환성#

허수단위 의 거듭제곱은 4를 주기로 반복된다.

1. 허수단위의 거듭제곱#

따라서

이 순서로 반복된다.

정수 에 대하여

이고,

이다.

따라서

이다.

2. 연속된 네 거듭제곱의 합#

정수 에 대하여 연속된 네 거듭제곱의 합은 항상 0이다.

풀이

공통인수 을 묶으면

이다.

예제 1#

복소수

에 대하여 다음 식의 값을 구하시오. 단, 이다.

풀이

먼저 의 분모와 분자에 분모의 켤레복소수인 를 곱한다.

따라서

이다.

의 거듭제곱을 계산하면

이다.

즉, 의 거듭제곱도 4를 주기로 반복된다.

따라서

에서 처음 여덟 항을 네 항씩 묶으면 각각 0이 된다.

답

음수의 제곱근#

양수 에 대하여 음수 의 제곱근은 허수단위 를 이용하여 나타낼 수 있다.

1. 음수의 제곱근 표현#

일 때,

이다.

예를 들어

이고,

이다.

2. 음수의 두 제곱근#

일 때, 방정식

의 해는 다음과 같다.

실제로

이고,

이므로

는 모두 의 제곱근이다.