다항식과 항등식

용어 정리#

• 차수: 곱해진 문자의 개수
• 동류항: 문자와 차수가 같은 항
• 내림차순: 높은 차수의 항부터 낮은 차수의 항 순서로 나열하는 것

다항식의 덧셈과 뺄셈#

1. 동류항의 계수끼리 더하거나 뺀다.
2. 교환법칙이 성립한다.

3. 결합법칙이 성립한다.

연습 문제 1#

두 다항식

에 대하여 다음 식을 간단히 하시오.

풀이

답

연습 문제 2#

두 다항식 A, B에 대하여

일 때,

를 만족시키는 다항식 X를 구하시오.

풀이

답

다항식의 곱셈#

다항식의 곱셈은 분배법칙으로 전개한 뒤, 동류항끼리 모아서 정리한다.

연습 문제 1#

다항식

의 전개식에서 의 계수를 구하시오.

풀이

항이 되는 항들만 계산한다.

따라서 의 계수는

답

연습 문제 2#

다항식

의 전개식에서 의 계수를 구하시오.

풀이

에서 항이 되는 항들만 계산한다.

따라서 의 계수는

답

곱셈공식#

①

②

③

④

⑤

곱셈공식의 변형#

①

따라서

②

따라서

연습 문제 1#

두 실수 x, y가

를 만족시킬 때,

의 값을 구하시오.

풀이

이므로

곱셈공식의 변형을 이용하면

이다.

답

연습 문제 2#

그림과 같은 직육면체의 겉넓이가 94이고,

일 때, 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합을 구하시오.

풀이

라고 하자.

직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은

이다.

직육면체의 겉넓이가 94이므로

이다.

즉,

이다.

각 선분의 길이를 피타고라스 정리로 나타내면

이다.

따라서

이고,

이므로

이다.

곱셈공식

를 이용하면

이다.

따라서

이므로, 모든 모서리의 길이의 합은

이다.

답

다항식의 나눗셈#

다항식의 나눗셈은 각 다항식을 내림차순으로 정리한 뒤, 최고차항을 소거하면서 차수를 낮춰 가며 계산한다.

다항식 A를 다항식 B로 나눌 때 몫을 , 나머지를 라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

연습 문제 1#

다항식

을

로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 구하시오.

풀이

먼저 내림차순으로 정리한다.

나눗셈을 하면

이다.

따라서 몫과 나머지는 다음과 같다.

답

연습 문제 2#

다항식

가

로 나누어떨어질 때, 의 값을 구하시오. 단, a, b는 상수이다.

풀이

나누어떨어진다는 것은 나머지가 0이라는 뜻이다.

나눗셈을 하면 몫은

이다.

따라서

이고, 나머지는

이다.

나누어떨어지므로

이다.

항등식이므로 각 계수는 0이다.

따라서

이고,

이므로

이다.

따라서

답